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  3. 设f(x)在[0，π]上连续，且∫0xf(t)costdt=∫0xf(t)sintdt=0，证明：f(x)在(0，π)内至少有两个零点。

设f(x)在[0，π]上连续，且∫0xf(t)costdt=∫0xf(t)sintdt=0，证明：f(x)在(0，π)内至少有两个零点。

admin2021-11-15  8
问题 设f(x)在[0，π]上连续，且∫0xf(t)costdt=∫0xf(t)sintdt=0，证明：f(x)在(0，π)内至少有两个零点。
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)sintdt，F(0)=F(π)=0，由罗尔定理，存在一点θ0∈(0，π)，使得F’(θ0)=0，而F’(x)=f(x)sinx，且sinθ0≠0，所以f(θ0)=0。 假设f(x)在(0，π)内除θ0外没有零点，则f(x)在(0，θ0)与(θ0，π)内异号。 不妨设当x∈(0，θ0)时，f(x)＜0；当x∈(θ0，π)时，f(x)＞0，则 ∫0πf(x)sin(x一θ0)dx=[*]f(x)sin(x一θ0)dx+[*]f(x)sin(x一θ0)dx。 因为当x∈[0，θ0]时，f(x)sin(x一θ0)连续，f(x)sin(x一θ0)≥0且f(x)sin(x一θ0)不恒等于零，所以[*]f(x)sin(x一θ0)dx＞0；同理[*]f(x)sin(x一θ0)dx＞0，所以∫0πf(x)sin(x一θ0)dx＞0。 而∫0πf(x)sin(x一θ0)dx=cosθ0∫0πf(x)sinxdx一sinθ0∫0πf(x)cosxdx=0。 与假设矛盾，故f(x)在(0，π)内至少有两个零点。
解析
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考研数学一

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