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  3. 设有极坐标系下的累次积分J＝dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr， (Ⅰ)将J写成直角坐标系下先对y后对χ积分的累次积分则是J＝_______； (Ⅱ)将J改成先对θ后对r积分的累次积分则是J＝_______．

设有极坐标系下的累次积分J＝dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr， (Ⅰ)将J写成直角坐标系下先对y后对χ积分的累次积分则是J＝_______； (Ⅱ)将J改成先对θ后对r积分的累次积分则是J＝_______．

admin2020-03-10  50
问题 设有极坐标系下的累次积分J＝dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，
    (Ⅰ)将J写成直角坐标系下先对y后对χ积分的累次积分则是J＝_______；
    (Ⅱ)将J改成先对θ后对r积分的累次积分则是J＝_______．
选项
答案(Ⅰ)[*]；(Ⅱ)[*]f(rcosθ，rsinθ)rdθ．
解析 (Ⅰ)将累次积分-，写成J＝f(χ，y)dσ，
    其中，D的极坐标表示D：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，于是得D的直角坐标形式为(如图24—3(a))

    χ2＋y2≤y(由r2≤rsinθ而得)，χ≤0，
    即χ2＋，χ≤0．
    现重新配限得
    J＝
    (Ⅱ)在Oθr直角坐标系中(如图24—3(b))，
    J＝f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ．

    当≤0≤π时，0≤π－θ≤，由r＝sinθ＝sin(π－θ)
    π－θ＝arcsinr，θ＝π－arcsinr．
    因此J＝f(rcosθ，rsinθ)rdθ．
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考研数学一

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