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设数列{xn}满足0<x1<π,xn|1=sinxn(n=1,2,…),证明:存在,并求该极限.
设数列{xn}满足0<x1<π,xn|1=sinxn(n=1,2,…),证明:存在,并求该极限.
admin
2020-04-02
37
问题
设数列{x
n
}满足0<x
1
<π,x
n|1
=sinx
n
(n=1,2,…),证明:
存在,并求该极限.
选项
答案
若0<x
1
<π,则0<x
2
=sinx
1
≤1<π.假设0<x
k
<π,那么可推知0<x
k+1
=sinx
k
≤1<π,因此对一切自然数n,0<x
n+1
=sinx
n
<π成立.故数列{x
n
}有界. 又因为当x>0时,sinx<x,所以[*]即x
n+1
<x
n
,也就是数列{x
n
}为单调递减数列. 根据单调有界原理可知,极限[*]存在,不妨设[*]等式x
n+1
=sinx
n
两端同时取n→∞,得a=sina,解得a=0,即[*]
解析
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考研数学一
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