设数列{xn}满足0<x1<π,xn|1=sinxn(n=1,2,…),证明:存在,并求该极限.

admin2020-04-02  39

问题 设数列{xn}满足0<x1<π,xn|1=sinxn(n=1,2,…),证明:存在,并求该极限.

选项

答案若0<x1<π,则0<x2=sinx1≤1<π.假设0<xk<π,那么可推知0<xk+1=sinxk≤1<π,因此对一切自然数n,0<xn+1=sinxn<π成立.故数列{xn}有界. 又因为当x>0时,sinx<x,所以[*]即xn+1<xn,也就是数列{xn}为单调递减数列. 根据单调有界原理可知,极限[*]存在,不妨设[*]等式xn+1=sinxn两端同时取n→∞,得a=sina,解得a=0,即[*]

解析
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