设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（）

admin2019-03-11 47

问题设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（）

选项 A、λE一A=λE—B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A和B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t，tE一A与tE一B相似

答案D

解析因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确。对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使
P^—1AP=B，
于是 P^—1（tE—A）P=tE一P^—1AP=tE一B，
可见对任意常数f，矩阵tE一A与tE一B相似。所以应选D。

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