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设n为正整数,f(x)=(x-1)n(x+1)n.证明方程f(n)(x)=0在(-1,1)中恰好有n个相异实根.
设n为正整数,f(x)=(x-1)n(x+1)n.证明方程f(n)(x)=0在(-1,1)中恰好有n个相异实根.
admin
2022-11-23
29
问题
设n为正整数,f(x)=(x-1)
n
(x+1)
n
.证明方程f
(n)
(x)=0在(-1,1)中恰好有n个相异实根.
选项
答案
设n为正整数,f(x)=(x-1)
n
(x+1)
n
.证明方程f
(n)
(x)=0在(-1,1)中恰好有n个相异实根.@证@∵±1为方程f(x)=0的n重根,于是该方程有2n个实根.由于 f’(x)=n(x-1)
n-1
(x+1)
n
+n(x-1)
n
(x+1)
n+1
=2nx(x-1)
n-1
(x+1)
n+1
. 故f’(x)=0以.以x=0为单根,x=±1为(n-1)重根.因为f’(0)=f’(1)=f’(-1)=0,由罗尔中值定理,[*]ξ
1
(2)
,ξ
2
(2)
,满足-1<ξ
1
(2)
<0<ξ
2
(2)
<1,使得f”(ξ
1
(2)
)=f”(ξ
2
(2)
)=0,于是f”(x)=0有两个单根;又因为f”(x)=p
2
(x)(x-1)
n-2
(x+1)
n-2
,其中p
2
(x)为二次多项式,故方程f”(x)=0还有两个(n-2)重根±1. 由此可推测当导数增高一次,相异单根增加一个,但重根±1的重数各下降一次.现用数学归纳法证明相应结论. 若f
(k)
(x)=0,1≤k<n有k个不同单根ξ
1
(k)
<ξ
2
(k)
<…<ξ
k
(k)
,±1为其(n-k)重根. f
(k)
(x)=p
k
(x)(x-1)
n-k
(x+1)
n-k
, 由罗尔中值定理,f
(k+1)
=0有(k+1)个单根{ξ
i
(k+1)
}
i=1
k+1
-1<ξ
1
(k+1)
<ξ
1
(k)
<ξ
2
(k+1)
<…<ξ
k
(k)
<ξ
k+1
(k+1)
<1, f
(k+1)
(x)=p
k+1
(x)(x-1)
n-(k+1)
(x+1)
n-(k+1)
, 其中p
k+1
(x)为(k+1)次多项式,即f
(k+1)
(x)有两个n-(k+1)重根±1.当k=n-1时,f
(n)
(x)=0正好有n个相异实根.
解析
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考研数学三
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