2. 考研
  3. 证明： (1)若f为凸函数，λ为非负实数，则λf为凸函数； (2)若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数； (3)若f为区间I上的凸函数，g为Jf(I)上凸增函数，则g°f为I上凸函数．

证明： (1)若f为凸函数，λ为非负实数，则λf为凸函数； (2)若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数； (3)若f为区间I上的凸函数，g为Jf(I)上凸增函数，则g°f为I上凸函数．

admin2022-11-23  59
问题 证明：
    (1)若f为凸函数，λ为非负实数，则λf为凸函数；
    (2)若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数；
    (3)若f为区间I上的凸函数，g为Jf(I)上凸增函数，则g°f为I上凸函数．
选项
答案(1)设f为定义在区间I上的凸函数，则对任意x1，x2∈I和任意μ∈(0，1)总有 f(μx1+(1-μ)x2)≤μf(x1)+(1-μ)f(x2)． 两边同乘非负实数λ，得到 (λf)(μx1+(1-μ)x2)≤μ(λf)(x1)+(1-μ)(λf)(x2)， 由定义知，λf为凸函数． (2)设f，g均为区间上的凸函数，由凸函数的定义知．对任意x1，x2∈I和任意λ∈(0，1)总有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，g(λx1+(1-λ)x2)≤λg(x1)+(1-λ)g(x2)，两式相加得到 f(λx1+(1-λ)x2)+g(λx1+(1-λ)x2)≤λ[f(x1)+g(x1)]+(1-λ)[f(x2)+g(x2)]，即 (f+g)(λx1+(1-λ)x2)≤λ(f+g)(x1)+(1-λ)(f+g)(x2)， 故f+g为凸函数． (3)由凸函数的定义知，对于任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)， 因为g为J[*]f(I)上的增函数，所以 g[f(λx1+(1-λ)x2)]≤g[λf(x1)+(1-λ)f(x2)]， 又因为g为凸函数，所以 g[λf(x1)+(1-λ)f(x2)]≤λg[f(x1)]+(1-λ)g[g(x2)]， 由这两个式子可得 (g°f)(λx1+(1-λ)x2)≤λ(g°f)(x1)+(1-λ)(g°f)(x2)， 故g°f为I上的凸函数．
解析
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考研数学三

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