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证明： (1)若f为凸函数，λ为非负实数，则λf为凸函数； (2)若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数； (3)若f为区间I上的凸函数，g为Jf(I)上凸增函数，则g°f为I上凸函数．
证明： (1)若f为凸函数，λ为非负实数，则λf为凸函数； (2)若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数； (3)若f为区间I上的凸函数，g为Jf(I)上凸增函数，则g°f为I上凸函数．
admin
2022-11-23
58
问题
证明：
(1)若f为凸函数，λ为非负实数，则λf为凸函数；
(2)若f，g均为凸函数，则f+g为凸函数；
(3)若f为区间I上的凸函数，g为J
f(I)上凸增函数，则g°f为I上凸函数．
选项
答案
(1)设f为定义在区间I上的凸函数，则对任意x
1
，x
2
∈I和任意μ∈(0，1)总有 f(μx
1
+(1-μ)x
2
)≤μf(x
1
)+(1-μ)f(x
2
)． 两边同乘非负实数λ，得到 (λf)(μx
1
+(1-μ)x
2
)≤μ(λf)(x
1
)+(1-μ)(λf)(x
2
)， 由定义知，λf为凸函数． (2)设f，g均为区间上的凸函数，由凸函数的定义知．对任意x
1
，x
2
∈I和任意λ∈(0，1)总有 f(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)，g(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λg(x
1
)+(1-λ)g(x
2
)，两式相加得到 f(λx
1
+(1-λ)x
2
)+g(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λ[f(x
1
)+g(x
1
)]+(1-λ)[f(x
2
)+g(x
2
)]，即 (f+g)(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λ(f+g)(x
1
)+(1-λ)(f+g)(x
2
)， 故f+g为凸函数． (3)由凸函数的定义知，对于任意x
1
，x
2
∈I，λ∈(0，1)有 f(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)， 因为g为J[*]f(I)上的增函数，所以 g[f(λx
1
+(1-λ)x
2
)]≤g[λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)]， 又因为g为凸函数，所以 g[λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)]≤λg[f(x
1
)]+(1-λ)g[g(x
2
)]， 由这两个式子可得 (g°f)(λx
1
+(1-λ)x
2
)≤λ(g°f)(x
1
)+(1-λ)(g°f)(x
2
)， 故g°f为I上的凸函数．
解析
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考研数学三
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