设A是n阶矩阵,A=E+xyT,x与y都是n×1矩阵,且yTx=2,求A的特征值、特征向量.

admin2016-05-31  30

问题 设A是n阶矩阵,A=E+xyT,x与y都是n×1矩阵,且yTx=2,求A的特征值、特征向量.

选项

答案令B=xyT=[*](y1,y2,…,yn),则B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B,可见B的特征值只能是0或2. 因为 [*] 则r(B)=1,故齐次方程组Bx=0的基础解系由n-1个向量组成,且基础解系是:α1=(-y2,y1,0,…,0)T,α2=(-y3,0,y1,…,0)T,…,αn-1=(-yn,0,0,…,y1)T.这正是B的关于λ=0也是A关于λ=1的n-1个线性无关的特征向量. 由于B2=2B,对B按列分块,记B=(β1,β2,…,βn), 则B(β1,β2,…,βn)=2(β1,β2,…,βn),即Bβi=2βi,可见αn=(x1,x2,…,xn)T是B关于λ=2,也就是A关于λ=3的特征向量. 那么A的特征值是1(n-1重)和3,特征向量分别是 k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1,knαn,其中k1,k2,…,kn-1不全为0,kn≠0.

解析
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