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设函数f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的导数,且满足求函数f(x)的表达式.
设函数f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的导数,且满足求函数f(x)的表达式.
admin
2017-11-13
20
问题
设函数f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的导数,且满足
求函数f(x)的表达式.
选项
答案
因为f(t)为偶函数,故只需讨论t≥0的情形. 由于f(t)=2∫
0
2π
dθ∫
0
t
r
2
f(r) .rdr+t
4
=4π∫
0
t
r
3
f(r) dr+t
4
.在等式两边同时对变量t求导,得f ’ (t)= 4πt
3
f(t)+ 4t
3
.且f(0)=0.这是一个一阶线性微分方程.解此微分方程,得 [*]
解析
在已给出的积分方程中,因被积函数厂具有因子x
2
+y
2
,且积分区域为圆域,故应用极坐标,将二重积分化为累次积分,再通过微分,即得关于变量t的一个微分方程.
由一般的变限积分方程
所得到的微分方程,均有一个隐含的初始条件f(x
0
)=0.
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考研数学一
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