设函数f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的导数,且满足求函数f(x)的表达式.

admin2017-11-13  20

问题 设函数f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的导数,且满足求函数f(x)的表达式.

选项

答案因为f(t)为偶函数,故只需讨论t≥0的情形. 由于f(t)=2∫0dθ∫0tr2 f(r) .rdr+t4=4π∫0tr3 f(r) dr+t4.在等式两边同时对变量t求导,得f ’ (t)= 4πt3 f(t)+ 4t3.且f(0)=0.这是一个一阶线性微分方程.解此微分方程,得 [*]

解析 在已给出的积分方程中,因被积函数厂具有因子x2+y2,且积分区域为圆域,故应用极坐标,将二重积分化为累次积分,再通过微分,即得关于变量t的一个微分方程.
由一般的变限积分方程所得到的微分方程,均有一个隐含的初始条件f(x0)=0.
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