2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=ax++1+2xcosx．当x∈[0，1]时， 若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=ax++1+2xcosx．当x∈[0，1]时， 若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

admin2019-06-01  3
问题 已知函数f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=ax++1+2xcosx．当x∈[0，1]时，
若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
选项
答案解法一：f(x)－g(x)=(1+x)e-2x一(ax+[*]+1+2xcosx)≥1－x－ax－1－[*]－2xcos x=－x(a+1+[*]+2cos x)．设G(x)=[*]+2cosx，则G＇(x)=x－2sin x．记H(x)=x－2sinx，则H＇(x)=1一2cosx，当 x∈(0，1)时，H＇(x)＜0，于是G＇(z)在[0，1]上是减函数，从而当x∈(0，1)时，G＇(x)＜G＇(0)=0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3．所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(z)在[0，1]上不恒成立． f(x)－g(x)≤[*] 记I(x)=[*]+a+G(x)，则I＇(x)=[*]+G(x)，当x∈(0，1)时，I＇(x)＜0，故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a+1+2cos1，a+3]．因为当a＞一3时，a+3＞0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此时f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]． 解法二：先证当x∈[0，1]时，1－[*]x2≤cos x≤1－[*]x2．记F(x)=cos x－1+[*]x2，则F＇(x)=－sinx+x．记G(x)=－sin x+x，则G＇(x)=－cos x+1，当x∈(0，1)时，G＇(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函数，因此当x∈(0，1)时，G(x)＞G(0)=0，从而F(x)在[0，1]上是增函数．因此F(x)≥F(0)=0，所以当x∈[0，1]时，1－[*]x2≤cos x．同理可证，当x∈[0，1]时，cos x≤1－[*]x2．综上，当x∈[0，1]时，1－[*]x2≤cos x≤1－[*]x2．因为当x∈[0，1]时，f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－(ax+[*]+1+2xcosx)≥(1－x)－ax－[*]－1－2x(1一[*]x2)=－(a+3)x,所以当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立． 因为f(x)－g(x)=(1+x)e-2x－[*]一(a+3)x≤[*]，所以存在x0∈(0，1)(例如x0取[*]中的较小值)满足f(x0)＜g(x0)．即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(一∞，一3]．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FYFq777K
本试题收录于： 小学数学题库教师公开招聘分类
0

小学数学

教师公开招聘

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)