设二阶常系数线性微分方程y’’+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．

admin2016-10-20 41

问题设二阶常系数线性微分方程y’’+αy’+βy=γe^x的一个特解为y=e^2x+(1+x)e^x，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．

选项

答案将y=e^2x+(1+x)e^x代入方程可得 (4+2α+β)e^2x+(3+2α+β-γ)e^x+(1+α+β)xe^x=0，因e^2x，e^x与xe^x线性无关(证明见评注)，故 [*] 于是所求方程是y’’-3y’+2y=-e^x，因特征方程为λ²-3λ+2=0即特征根为λ₁=2，λ₂=1，则对应齐次微分方程的通解为C₁e^2x+C₂e^x，由所给特解y=e^2x+(1+x)e^x可见非齐次方程有一个特解为 y=xe^x．综合即得所求通解为y=C₁e^2x+C₂e^x+xe^x．

解析

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