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  3. 下列函数f(x)中其原函数及定积分∫-11f(x)dx都存在的是

下列函数f(x)中其原函数及定积分∫-11f(x)dx都存在的是

admin2018-06-14  30
问题 下列函数f(x)中其原函数及定积分∫-11f(x)dx都存在的是
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 像这类题需逐一分析．上述四个选项的f(x)均不连续．
    对于(A)：显然x=0是f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点x=0在内的区间上，f(x)一定存在原函数．因为当x≠0时｜x｜’=f(x)，因此当x≠0时，f(x)的全体原函数｜x｜+C在x=0处不可导，从而在任意一个包含x=0在内的区间上，｜x｜+C不是f(x)的原函数，所以f(x)在上述区间上不存在原函数．但定积分∫-11f(x)dx存在，因为f(x)在上述区间上有界，且只有有限个间断点．故(A)不对．
    对于(B)：显然x=0是f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该f(x)存在原函数F(x)=(容易验证，当一∞＜x＜+∞时F’(x)=f(x))．而定积分∫-11f(x)dx不存在，因为在x=0的邻域内f(x)无界．故(B)不对．
    对于(C)：显然x=0是f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此f(x)在包含x=0在内的区间上不存在原函数．定积分∫-11f(x)dx也不存在．故(C)也不对．
    对于(D)：显然x=0是f(x)的第二类间断点，容易验证该f(x)在(一∞，+∞)上存在原函数F(x)=定积分∫-11f(x)dx也存在(因为f(x)在(一∞，+∞)上有界，且只有有限个间断点)．故D正确，应选D．
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考研数学三

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