设α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT，试计算： (1)｜A｜；(2)An；(3)A－1．

admin2016-09-19 37

问题设α=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T≠0，且α^Tβ=0，A=E+αβ^T，试计算：
(1)｜A｜；(2)Aⁿ；(3)A^－1．

选项

答案[*] (2)Aⁿ=(E+αβ^T)ⁿ=Eⁿ+nE^n－1αβ^T+[*]E^n－2(αβ^T)²+…．当k≥2时， (αβ^T)^k=(αβ^T)(αβ^T)…(αβ^T)=α(β^Tα)(β^Tα)…β^T=O．故Aⁿ=E+nαβ^T． (3)A²=(E+αβ^T)(E+αβ^T)=E+2αβ^T+αβ^Tαβ^T=E+2αβ^T=2E+2αβ^T－E=2A－E． 2A－A²=E，A(2E－A)=E， A^－1=2E－A=E－αβ^T．

解析

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考研数学三

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