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已知A,B为三阶非零矩阵,且A= β1=(0,1,一1)T,β2=(a, 2,1)T,β3=(b,1,0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量,且Ax=β3有解。求 (Ⅰ)a,b的值; (Ⅱ)求Bx=0的通解。
已知A,B为三阶非零矩阵,且A= β1=(0,1,一1)T,β2=(a, 2,1)T,β3=(b,1,0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量,且Ax=β3有解。求 (Ⅰ)a,b的值; (Ⅱ)求Bx=0的通解。
admin
2017-01-21
35
问题
已知A,B为三阶非零矩阵,且A=
β
1
=(0,1,一1)
T
,β
2
=(a, 2,1)
T
,β
3
=(b,1,0)
T
是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量,且Ax=β
3
有解。求
(Ⅰ)a,b的值;
(Ⅱ)求Bx=0的通解。
选项
答案
(Ⅰ)由B≠0,且β
1
,β
2
,β
3
是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量可知,向量组β
1
,β
2
,β
3
必线性相关,于是|β
1
,β
2
,β
3
|=[*] 解得a=3b。 由Ax=β
3
有解可知,线性方程组Ax=β
3
的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,对增广矩阵作初等行变换得 [*] 所以b=5,a=3b=15。 (Ⅱ)因为B≠0,所以r(B)≥1,则3—r(B)≤2。又因为β
1
,β
2
是Bx=0的两个线性无关的解,故3—r(B)=2,所以β
1
,β
2
是B=0的一个基础解系,于是Bx=0的通解为 x=k
1
β
1
+k
2
β
2
,其中k
1
,k
2
为任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FmH4777K
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考研数学三
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