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设f(x,y)在点(0,0)处连续,且 其中a,b,c为常数. (1)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微则求出df(x,y)|(0,0); (2)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否取极值,说明理由.
设f(x,y)在点(0,0)处连续,且 其中a,b,c为常数. (1)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微则求出df(x,y)|(0,0); (2)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否取极值,说明理由.
admin
2017-12-23
63
问题
设f(x,y)在点(0,0)处连续,且
其中a,b,c为常数.
(1)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否可微,若可微则求出df(x,y)|
(0,0)
;
(2)讨论f(x,y)在点(0,0)处是否取极值,说明理由.
选项
答案
(1)当(x,y)→(0,0)时ln(1+x
2
+y
2
)~x
2
+y
2
,由 [*], 于是f(x,y)一f(0,0)一bx一cy=x
2
+y
2
+(x
2
+y
2
)o(1)=0(ρ) (ρ=[*]→0),即f(x,y)一f(0,0)=bx+cy+0(ρ)(ρ→0). 由可微性概念可知,f(x,y)在点(0,0)处可微且df(x,y)|
(0,0)
=bdx+cdy. (2)由df(x,y)|
(0,0)
=bdx+cdy得[*]=c.于是当b,c不同时为零时f(x,y)在点(0,0)处不取极值. 当b=c=0时,由于 [*] 因此f(x,y)在点(0,0)处取极小值.
解析
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考研数学二
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证明:[*]
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