2. 考研
  3. 已知y1=xex+ex，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x—e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________．

已知y1=xex+ex，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x—e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________．

admin2014-02-06  47
问题 已知y1=xex+ex，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x—e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________．
选项
答案y’’一y’一2y=(1—2x)ex．
解析 y1一y2=e2x～e-x，1一y3=e-x都是相应齐次方程的解．而(y1—y2)+(y1一y3)=e2x也是齐次方程的解，e2x与e-x是两个线性无关的解，而y2=xex+e-x是非齐次方程的解，从而y2一e-x=xex也是非齐次方程的解，由e-x，e2x是齐次方程的解，可知特征根r1=一1，r2=2，特征方程为(r+1)(r一2)=0，即r2一r一2=0．设所求非齐次方程为y’’一y’一2y=f(x)．将非齐次解xex代入，得f(x)=(xex)’’一(xex)’’一2xex=(1—2x)ex故所求方程为y’’一y’一2y=(1—2x)ex．
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考研数学三

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