已知y1=xex+ex，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x—e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________．

admin2014-02-06 54

问题已知y₁=xe^x+e^x，y₂=xe^x+e^-x，y₃=xe^x+e^2x—e^-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________．

选项

答案y^’’一y^’一2y=(1—2x)e^x．

解析 y₁一y₂=e^2x～e^-x，1一y₃=e^-x都是相应齐次方程的解．而(y₁—y₂)+(y₁一y₃)=e^2x也是齐次方程的解，e^2x与e^-x是两个线性无关的解，而y₂=xe^x+e^-x是非齐次方程的解，从而y₂一e^-x=xe^x也是非齐次方程的解，由e^-x，e^2x是齐次方程的解，可知特征根r₁=一1，r₂=2，特征方程为(r+1)(r一2)=0，即r²一r一2=0．设所求非齐次方程为y^’’一y^’一2y=f(x)．将非齐次解xe^x代入，得f(x)=(xe^x)^’’一(xe^x)^’’一2xe^x=(1—2x)e^x故所求方程为y^’’一y^’一2y=(1—2x)e^x．

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考研数学三

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