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已知y1=xex+ex,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x—e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为___________.
已知y1=xex+ex,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x—e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为___________.
admin
2014-02-06
75
问题
已知y
1
=xe
x
+e
x
,y
2
=xe
x
+e
-x
,y
3
=xe
x
+e
2x
—e
-x
是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为___________.
选项
答案
y
’’
一y
’
一2y=(1—2x)e
x
.
解析
y
1
一y
2
=e
2x
~e
-x
,1一y
3
=e
-x
都是相应齐次方程的解.而(y
1
—y
2
)+(y
1
一y
3
)=e
2x
也是齐次方程的解,e
2x
与e
-x
是两个线性无关的解,而y
2
=xe
x
+e
-x
是非齐次方程的解,从而y
2
一e
-x
=xe
x
也是非齐次方程的解,由e
-x
,e
2x
是齐次方程的解,可知特征根r
1
=一1,r
2
=2,特征方程为(r+1)(r一2)=0,即r
2
一r一2=0.设所求非齐次方程为y
’’
一y
’
一2y=f(x).将非齐次解xe
x
代入,得f(x)=(xe
x
)
’’
一(xe
x
)
’’
一2xe
x
=(1—2x)e
x
故所求方程为y
’’
一y
’
一2y=(1—2x)e
x
.
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考研数学三
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