2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．

已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．

admin2016-04-29  118
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．
选项
答案本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形，是一道有一定难度的综合题． 二次型的矩阵为 [*] 由题设知矩阵A的特征值为λ1=3，λ2=3，λ3=b．由特征值的性质， [*] 解得a=－2，b=－3，从而矩阵A的特征值是3，3，－3． 当λ=3时，对(3E－A)x=0的系数矩阵作初等行变换， [*] 其基础解系为α1=（－1，1，0）T，α2=（－1，0，1）T． 当λ=－3时，对(－3E－A)=0的系数矩阵作初等行变换， [*] 其基础解系为α2=（1，1，1）T． 将α1，α2，Schmidt正交化，令 [*] 令Q=(γ1，γ2，γ3)，经过正交变换x=Qy，f(x1，x2，x3)化成标准形 f(x1，x2，x3)=3y12+3y22－3y32．
解析
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考研数学三

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