已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．

admin2016-04-29 61

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²－4x₁x₂－4x₁x₃+2ax₂x₃通过正交变换x=Qy化为标准形f(x₁，x₂，x₃)=3y₁²+3y₂²+by₃²，求参数a，b及所用的正交变换．

选项

答案本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形，是一道有一定难度的综合题．二次型的矩阵为 [*] 由题设知矩阵A的特征值为λ₁=3，λ₂=3，λ₃=b．由特征值的性质， [*] 解得a=－2，b=－3，从而矩阵A的特征值是3，3，－3．当λ=3时，对(3E－A)x=0的系数矩阵作初等行变换， [*] 其基础解系为α₁=（－1，1，0）^T，α₂=（－1，0，1）^T．当λ=－3时，对(－3E－A)=0的系数矩阵作初等行变换， [*] 其基础解系为α₂=（1，1，1）^T．将α₁，α₂，Schmidt正交化，令 [*] 令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，经过正交变换x=Qy，f(x₁，x₂，x₃)化成标准形 f(x₁，x₂，x₃)=3y₁²+3y₂²－3y₃²．

解析

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考研数学三

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已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．

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