设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

admin2015-04-30 65

问题设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3Aα一2A²α．
证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A⁴α)可逆；
(Ⅱ)B^TB是正定矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由于A³α=3Aα一2A²α，故 A⁴α=3A²α一2A³α=3A²α一2(3Aα一2A²α)=7A²α一6Aα．若k₁α+k₂Aα+k₃A⁴α=0，即k₁α+k₂Aα+k₃(7A²α一6Aα)=0，亦即k₁α+(k₂—6k₃)Aα+7k₃A²α=0，因为α，Aα，A²α线性无关，故 [*] 所以，α，Aα，A⁴α线性无关，因而矩阵B可逆． (Ⅱ)因为(B^TB)^T=B^T(B^T)^T=B^TB，故B^TB是对称矩阵．又[*]，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)＞0，故二次型x^T(B^TB)x是正定二次型，从而矩阵B^TB是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

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