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设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α． 证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．
设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α． 证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．
admin
2015-04-30
81
问题
设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A
2
α线性无关，且A
3
α=3Aα一2A
2
α．
证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A
4
α)可逆；
(Ⅱ)B
T
B是正定矩阵．
选项
答案
(Ⅰ)由于A
3
α=3Aα一2A
2
α，故 A
4
α=3A
2
α一2A
3
α=3A
2
α一2(3Aα一2A
2
α)=7A
2
α一6Aα． 若k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
4
α=0，即k
1
α+k
2
Aα+k
3
(7A
2
α一6Aα)=0， 亦即k
1
α+(k
2
—6k
3
)Aα+7k
3
A
2
α=0，因为α，Aα，A
2
α线性无关，故 [*] 所以，α，Aα，A
4
α线性无关，因而矩阵B可逆． (Ⅱ)因为(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B，故B
T
B是对称矩阵．又[*]，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x
T
(B
T
B)x=(Bx)
T
(Bx)＞0，故二次型x
T
(B
T
B)x是正定二次型，从而矩阵B
T
B是正定矩阵．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GFU4777K
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考研数学三
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