设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

admin2015-04-30 107

问题设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3Aα一2A²α．
证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A⁴α)可逆；
(Ⅱ)B^TB是正定矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由于A³α=3Aα一2A²α，故 A⁴α=3A²α一2A³α=3A²α一2(3Aα一2A²α)=7A²α一6Aα．若k₁α+k₂Aα+k₃A⁴α=0，即k₁α+k₂Aα+k₃(7A²α一6Aα)=0，亦即k₁α+(k₂—6k₃)Aα+7k₃A²α=0，因为α，Aα，A²α线性无关，故 [*] 所以，α，Aα，A⁴α线性无关，因而矩阵B可逆． (Ⅱ)因为(B^TB)^T=B^T(B^T)^T=B^TB，故B^TB是对称矩阵．又[*]，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)＞0，故二次型x^T(B^TB)x是正定二次型，从而矩阵B^TB是正定矩阵．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GFU4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

考研数学三

我们党在长期执政条件下，能够战胜各种困难，取得举世瞩目的成就，就是因为我党能保持先进性和创造力，其决定性因素是()。

民族区域自治是我们党解决民族问题的基本政策，是国家的一项基本政治制度，实行这一制度的核心是()

“一带一路”不是一个实体和机制，而是()，是充分依靠中国与有关国家既有的双多边机制，借助既有的、行之有效的区域合作平台。

我国现代化既有各国现代化的共同特征，更有基于国情的中国特色，是中国式现代化。我们要实现的现代化是()。①人口规模巨大的现代化②全体人民共同富裕的现代化③物质文明和精神文明相协调的现代化④人与自然和

中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二。三五年远景目标的建议指出。布局建设综合性国家科学中心和区域性创新高地，支持()形成国际科技创新中心。

提高个人所得税起征点，增加子女教育、大病医疗等专项费用扣除，合理减负，这一举措是为了()。

设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

设A，B是同阶正定矩阵，则下列命题错误的是()．

「________」という言葉があるが、どうして悪口を言ったときだけ、出くわすのだろう。どうせなら、褒めた直後に会いたいものだ。

焊接变位机通过()的旋转和翻转运动，使所有焊缝处于最理想的位置以便于进行焊接。

HehadAawonderfulBchildhood,CtraveledwithhismotherDtoallcornersoftheworld.

中央银行在市场中向商业银行大量卖出证券，从而减少商业银行超额存款准备金，引起货币供应量减少、市场利率上升，中央银行动用的货币政策工具是()。

一个班有50名学生．他们的名字都是由2个或3个字组成的。将他们平均分为两组之后，两组的学生名字字数之差为10。此时两组学生中名字字数为2的学生数量之差为()。

教学过程的基本特点(基本规律)有哪些?

人们通常把知识分子家庭称作“书香门第”，这里的“书香”原意指的是()。

党的十八届五中全会坚持以人民为中心的发展思想，鲜明提出了创新、协调、绿色、开放、共享的新发展理念。新发展理念()

Howdoesliterarystyleevolve?Surprisingly,【C1】______lieinwordswithseeminglylittlemeaning,suchas"to"and"that".

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α． 证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

考研数学三

我们党在长期执政条件下，能够战胜各种困难，取得举世瞩目的成就，就是因为我党能保持先进性和创造力，其决定性因素是()。

民族区域自治是我们党解决民族问题的基本政策，是国家的一项基本政治制度，实行这一制度的核心是()

“一带一路”不是一个实体和机制，而是()，是充分依靠中国与有关国家既有的双多边机制，借助既有的、行之有效的区域合作平台。

我国现代化既有各国现代化的共同特征，更有基于国情的中国特色，是中国式现代化。我们要实现的现代化是()。①人口规模巨大的现代化②全体人民共同富裕的现代化③物质文明和精神文明相协调的现代化④人与自然和

中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二。三五年远景目标的建议指出。布局建设综合性国家科学中心和区域性创新高地，支持()形成国际科技创新中心。

提高个人所得税起征点，增加子女教育、大病医疗等专项费用扣除，合理减负，这一举措是为了()。

设α1，α2，…，αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…，αr线性表示，但β不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…，αr-1，β线性表示．

设A，B是同阶正定矩阵，则下列命题错误的是()．

「________」という言葉があるが、どうして悪口を言ったときだけ、出くわすのだろう。どうせなら、褒めた直後に会いたいものだ。

焊接变位机通过()的旋转和翻转运动，使所有焊缝处于最理想的位置以便于进行焊接。

HehadAawonderfulBchildhood,CtraveledwithhismotherDtoallcornersoftheworld.

中央银行在市场中向商业银行大量卖出证券，从而减少商业银行超额存款准备金，引起货币供应量减少、市场利率上升，中央银行动用的货币政策工具是()。

一个班有50名学生．他们的名字都是由2个或3个字组成的。将他们平均分为两组之后，两组的学生名字字数之差为10。此时两组学生中名字字数为2的学生数量之差为()。

教学过程的基本特点(基本规律)有哪些?

人们通常把知识分子家庭称作“书香门第”，这里的“书香”原意指的是()。

党的十八届五中全会坚持以人民为中心的发展思想，鲜明提出了创新、协调、绿色、开放、共享的新发展理念。新发展理念()

Howdoesliterarystyleevolve?Surprisingly,【C1】______lieinwordswithseeminglylittlemeaning,suchas"to"and"that".

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．