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设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
admin
2022-11-07
57
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
.设η
0
为方程组AX=b的一个特解,令β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,β
2
=ξ
2
+η
0
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
为方程组AX=b的一组解.令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n-r
β
n-r
=0,即(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0,因为b为非零列向量,所以k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0,于是k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,注意到ξ
1
ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0,故β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
线性无关,即方程组Ax=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组.设β
1
,β
2
,…,β
n-r+2
为方程组Ax=b的一组线性无关解,令γ
1
=β
2
-β
1
,γ
2
=β
3
-β
2
,…,γ
n-r+1
=β
n-r+2
-β
1
,根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
线性无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组Ax=0含有n-r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的,所以Ax=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个.
解析
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考研数学三
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