首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
admin
2022-11-07
31
问题
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r<n.证明:方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个.
选项
答案
因为r(A)=r<n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
.设η
0
为方程组AX=b的一个特解,令β
0
=η
0
,β
1
=ξ
1
+η
0
,β
2
=ξ
2
+η
0
,…,β
n-r
=ξ
n-r
+η
0
,显然β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
为方程组AX=b的一组解.令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n-r
β
n-r
=0,即(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0,因为b为非零列向量,所以k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0,于是k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0,注意到ξ
1
ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,所以k
1
=k
2
=…=k
n-r
=0,故β
0
,β
1
,β
2
,…,β
n-r
线性无关,即方程组Ax=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组.设β
1
,β
2
,…,β
n-r+2
为方程组Ax=b的一组线性无关解,令γ
1
=β
2
-β
1
,γ
2
=β
3
-β
2
,…,γ
n-r+1
=β
n-r+2
-β
1
,根据定义,易证γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
线性无关,又γ
1
,γ
2
,…,γ
n-r+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解,即方程组Ax=0含有n-r+1个线性无关的解,矛盾,所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的,所以Ax=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GHgD777K
0
考研数学三
相关试题推荐
“人民”和“人名”是同音词。()
“沙发”这个外来词的翻译方式称为_____。
发音部位是指_____,按照发音部位的不同,普通话声母可以分为_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____等七类。
调类。
状态补语的前面可以加“得”也可以不加“得”。()
繁体字“開”简化为“开”,使用的简化方法是_____。
判断下列句子是否符合普通话规范这小子真行,我可不敢给他比试。
选择拼写错误的音节(1)A.shénmeB.lǎoshīC.xiàozhǎngD.mòngxiǎng(2)A.kuòchuòB.wǎndiǎnC.qānchěD.shānhǎi(3)A.jùhuì
下列选项中,不属于债权特征的是
甲企业是由自然人方某与乙企业(个人独资)各出资50%设立的普通合伙企业,欠丙企业货款50万元,由于经营不善,甲企业全部资产仅剩20万元。现所欠货款到期,相关各方因货款清偿发生纠纷。对此,下列表述正确的是()。
随机试题
细菌性肝脓肿致病菌最主要的侵入途径是
[2007年,第67题]图5.5-4示矩形截面,m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩()。
AIA系列合同文件的核心是()。
离港系统设备的选择应符合我国民航业的有关规定,符合()中有关标准。
丙烯聚合物废料(颗粒状)
位于市区的某房地产开发企业,2018年发生相关业务如下:2017年1月企业购买一宗4000平方米的土地,签订土地使用权出让合同并支付土地出让金5000万元,月底办理好土地使用证。2018年2月份发生通水通电通路工程费用500万元,已按合同约定支付款项。
个人贷款原则上应当采用贷款人受托支付的方式向借款人交易对象支付,下列()情形的个人贷款,经贷款人同意可以采取借款人的自主支付方式。
()的目的是帮助学生巩固、加深和系统化学过的知识,通过归纳、整理、综合,优化学生的认知结构,进一步提高学生运用所学知识解决问题的能力.
深溪中学所有住校生都在学校食用午餐,因此有些家在深溪中学附近的学生不在学校住宿。为使上述论证成立,以下哪项关于深溪中学的断定是必须假设的?()
捡顺炎笑销炎要化河查
最新回复
(
0
)