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如图由y=0,x=8,y=x2围成一曲边三角形OAB,在曲边上求一点,使得过此点所作y=x2的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大.
如图由y=0,x=8,y=x2围成一曲边三角形OAB,在曲边上求一点,使得过此点所作y=x2的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大.
admin
2016-01-25
53
问题
如图由y=0,x=8,y=x
2
围成一曲边三角形OAB,在曲边
上求一点,使得过此点所作y=x
2
的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大.
选项
答案
设切点为(x,y).过曲线上点(x,y)的切线方程为 Y-y=y′(X-x). 将y=x
2
,y′=2x代入得 Y=y—x
2
=2x(X—x). 此切线与X=8及Y=0的交点的纵坐标与横坐标分别为 Y=2x(8一x)+x
2
,X=[*], 则切线与OA,AB所围成的三角形面积为 S(x)=[*][2x(8一x)+x
2
]. 令 S′(x)=[*]及x=16(舍去). 易验证,当x=[*]<0,因而S(x)取最大值,则所求的点为([*]).
解析
设切点(x,y),求出切线方程Y—x
2
=y′(X—x),求出切线与直线X=8及与Y=0(横轴)的交点.写出用x,y表示的面积表达式,最后求出x,y为何值时此面积最大.
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考研数学三
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