如图由y＝0，x＝8，y＝x2围成一曲边三角形OAB，在曲边上求一点，使得过此点所作y＝x2的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大．　

admin2016-01-25 55

问题如图由y＝0，x＝8，y＝x²围成一曲边三角形OAB，在曲边

上求一点，使得过此点所作y＝x²的切线与OA、AB所围成的三角形面积为最大．
　

选项

答案设切点为(x，y)．过曲线上点(x，y)的切线方程为 Y－y＝y′(X－x)．将y＝x²，y′＝2x代入得 Y＝y—x²＝2x(X—x)．此切线与X＝8及Y＝0的交点的纵坐标与横坐标分别为 Y＝2x(8一x)＋x²，X＝[*]，则切线与OA，AB所围成的三角形面积为 S(x)＝[*][2x(8一x)＋x²]．令 S′(x)＝[*]及x＝16(舍去)．易验证，当x＝[*]＜0，因而S(x)取最大值，则所求的点为([*])．

解析设切点(x，y)，求出切线方程Y—x²＝y′(X—x)，求出切线与直线X＝8及与Y＝0(横轴)的交点．写出用x，y表示的面积表达式，最后求出x，y为何值时此面积最大．

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考研数学三

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