设矩阵A=的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．

admin2016-05-31 40

问题设矩阵A=

的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 如果λ=2是单根，则λ²-8λ+18+3a是完全平方，那么有18+3a=16，即a=[*] 则矩阵A的特征值是2，4，4，而r(4E-A)=r[*]=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化．如果λ=2是二重特征值，则将λ=0代人λ²-8λ+18+3a=0，则有18+3a=12，即a=-2．于是λ²-8λ+18-3a=(λ-2)(λ-6)．则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=r[*]=1，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化．

解析

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