设f、g、h是定义在[a，+∞)上的三个连续函数，且成立不等式h(x)≤f(x)≤g(x)．证明：若∫a+∞h(x)dx与∫a+∞g(x)dx都收敛，则∫a+∞f(x)dx也收敛；

admin2022-11-23 23

问题设f、g、h是定义在[a，+∞)上的三个连续函数，且成立不等式h(x)≤f(x)≤g(x)．
证明：
若∫_a^+∞h(x)dx与∫_a^+∞g(x)dx都收敛，则∫_a^+∞f(x)dx也收敛；

选项

答案∵∫_a^+∞h(x)dx与∫_a^+∞g(x)dx收敛，∴由柯西准则知，对任给的ε＞0，存在G≥a，使得当u₁，u₂＞G时，便有[*] 由题设h(x)≤f(x)≤g(x)可得，[*]于是当u₁，u₂＞G时，有[*]由柯西准则知，∫_a^+∞f(x)dx收敛．

解析

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考研数学一

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