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  3. 设f(x)=x1+x2+…+xn(x≥2)． (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x； (2)求．

设f(x)=x1+x2+…+xn(x≥2)． (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x； (2)求．

admin2017-10-19  42
问题 设f(x)=x1+x2+…+xn(x≥2)．
    (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x；
    (2)求．
选项
答案(1)令φ(x)=fn(x)一1，因为φn(0)=一1＜0，φ(1)=n一1＞0，所以φn(x)在(0．1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根． 因为φ’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x) 在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn． (2)由fn(xn)一fn+1(xn+1)=0，得 (xn一xn+1)+(xnn一xn+1n)+…+(xnn一xn+1n)=xn+1n+1＞0，从而xn＞xn+1，所以{xn}n=1单调减少，又xn＞0(n=1，2，…)，故[*]，显然A≤xn≤x1=1，由xn+xnn+…+xnn=1，得[*]．
解析
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考研数学三

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