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设f(x)=x1+x2+…+xn(x≥2). (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x; (2)求.
设f(x)=x1+x2+…+xn(x≥2). (1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x; (2)求.
admin
2017-10-19
38
问题
设f(x)=x
1
+x
2
+…+x
n
(x≥2).
(1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x;
(2)求
.
选项
答案
(1)令φ(x)=f
n
(x)一1,因为φ
n
(0)=一1<0,φ(1)=n一1>0,所以φ
n
(x)在(0.1)[*](0,+∞)内有一个零点,即方程f
n
(x)=1在(0,+∞)内有一个根. 因为φ’
n
(x)=1+2x+…+nx
n-1
>0,所以φ
n
(x)在(0,+∞)内单调增加,所以φ
n
(x) 在(0,+∞)内的零点唯一,所以方程f
n
(x)=1在(0,+∞)内有唯一正根,记为x
n
. (2)由f
n
(x
n
)一f
n+1
(x
n+1
)=0,得 (x
n
一x
n+1
)+(x
n
n
一x
n+1
n
)+…+(x
n
n
一x
n+1
n
)=x
n+1
n+1
>0,从而x
n
>x
n+1
,所以{x
n
}
n=1
单调减少,又x
n
>0(n=1,2,…),故[*],显然A≤x
n
≤x
1
=1,由x
n
+x
n
n
+…+x
n
n
=1,得[*].
解析
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考研数学三
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