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设实对称矩阵求可逆矩阵P,使P一1AP为对角矩阵,并计算行列式|A—E|的值.
设实对称矩阵求可逆矩阵P,使P一1AP为对角矩阵,并计算行列式|A—E|的值.
admin
2017-12-23
71
问题
设实对称矩阵
求可逆矩阵P,使P
一1
AP为对角矩阵,并计算行列式|A—E|的值.
选项
答案
矩阵A的特征多项式为[*] 由此得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=a+1,λ
3
=a—2. 对于特征值λ=λ=a+1,可得对应的两个线性无关的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
. 对于特征值λ
3
=a一2,可得对应的特征向量α
3
=(一1,1,1)
T
. 令矩阵[*]
解析
本题主要考查的知识点是把实对称矩阵化为对角矩阵的方法,矩阵特征值、特征向量的求法及相似矩阵的性质.由题设可求出矩阵A的3个线性无关的特征向量,于是可求出可逆矩阵P,使P
一1
AP为对角矩阵.由|A—E|=|P
一1
AP—P
一1
P|=|P
一1
AP-E|,可知只要求出对角矩阵P
一1
AP,就可以计算出|A一E|.
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