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  3. 设向量β可由向量组α1，α2，...,αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...,αm-1, 线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，...,αm-1，β，则

设向量β可由向量组α1，α2，...,αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...,αm-1, 线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，...,αm-1，β，则

admin2013-03-29  35
问题 设向量β可由向量组α1，α2，...,αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...,αm-1,
线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，...,αm-1，β，则
选项 A、αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、αm不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．
C、αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D、αm可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．
答案B
解析 因为β可由α1，α2，...,αm线性表示，故可设
    β=k1α1，k2α2，...,kmαm．
    由于β不能由α1，α2，...,αm-1线性表示，故上述表达式中必有km≠0．因此
    αm=1/km(β-k1α1-k2α2-…-km-1αm-1)．
即αm可由(Ⅱ)线性表示，可排除(A)、(D)．
    若αm可由(I)线性表示，设αm=l1α1+…+lm-1αm-1，则
    β=(k1+kml1)α1+(k2+kml2)α2+…+(km-1+kmlm-1)αm-1．
与题设矛盾，故应选(B)．
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考研数学三

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