设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E＋A｜＝0，λ1＝1，λ2＝－1为B的两个特征值，则行列式｜A＋2AB｜＝_______。

admin2020-03-08 24

问题设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E＋A｜＝0，λ₁＝1，λ₂＝－1为B的两个特征值，则行列式｜A＋2AB｜＝_______。

选项

答案18

解析由；｜2E＋A｜＝(－1)³｜－2E－A｜＝0，知｜－2E－A｜＝0，故λ＝－2为A的一个特征值。因A～B，故A，B有相同特征值，即λ₁＝1，λ₂＝－1，λ₃＝－2。
且存在可逆矩阵P，使P^-1BP＝

。
于是p^-1(E＋2B)P＝E＋2P^-1BP＝

从而｜E＋2B｜

＝9，｜A｜＝λ₁λ₂λ₃＝2。
故｜A＋2AB｜＝｜A(E＋2B)｜＝｜A｜×｜E＋2B｜＝2×9＝18。

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