设A,B为三阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=_______。

admin2020-03-08  25

问题 设A,B为三阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=_______。

选项

答案18

解析 由;|2E+A|=(-1)3|-2E-A|=0,知|-2E-A|=0,故λ=-2为A的一个特征值。因A~B,故A,B有相同特征值,即λ1=1,λ2=-1,λ3=-2。
    且存在可逆矩阵P,使P-1BP=
    于是p-1(E+2B)P=E+2P-1BP=
    从而|E+2B|=9,|A|=λ1λ2λ3=2。
    故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|×|E+2B|=2×9=18。
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