设α为3维单位列向量,E为3阶单位矩阵,则矩阵E一ααT的秩为________.

admin2018-07-31  22

问题 设α为3维单位列向量,E为3阶单位矩阵,则矩阵E一ααT的秩为________.

选项

答案2.

解析 记矩阵A=E一ααT,则由αTα=1,易得A2=A,由此知A不可逆.(否则A可逆,用A—1左乘A2=A两端,得A=E,这与A≠E矛盾(若A=E,则ααT=O,但ααT≠O)),所以A不可逆(由此也可知A的秩小于3),因此A有特征值为0.设A按列分块为A=(β1,β2,β3),则由A2=A可得Aβjj(j=1,2,3).这表明β是A的属于特征值1的特征向量.以上说明A有特征值λ1=0,λ2=1.再由A的全部特征值之和=A的主对角线元素之和=3一a12—a22—a32=3一1=2,知A的另一特征值λ3=1.因此,A的全部特征值为0,1,1.因为A是3阶实对称矩阵,所以,A相似于对角矩阵M=diag(0,1,1).因相似矩阵有相同的秩,从而得r(A)=r(M)=2.
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