2. 考研
  3. 设α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E一ααT的秩为________．

设α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E一ααT的秩为________．

admin2018-07-31  39
问题 设α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E一ααT的秩为________．
选项
答案2．
解析 记矩阵A=E一ααT，则由αTα=1，易得A2=A，由此知A不可逆．(否则A可逆，用A—1左乘A2=A两端，得A=E，这与A≠E矛盾(若A=E，则ααT=O，但ααT≠O))，所以A不可逆(由此也可知A的秩小于3)，因此A有特征值为0．设A按列分块为A=(β1，β2，β3)，则由A2=A可得Aβj=βj(j=1，2，3)．这表明β是A的属于特征值1的特征向量．以上说明A有特征值λ1=0，λ2=1．再由A的全部特征值之和=A的主对角线元素之和=3一a12—a22—a32=3一1=2，知A的另一特征值λ3=1．因此，A的全部特征值为0，1，1．因为A是3阶实对称矩阵，所以，A相似于对角矩阵M=diag(0，1，1)．因相似矩阵有相同的秩，从而得r(A)=r(M)=2．
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考研数学一

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