设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

admin2016-10-13 37

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维列向量，且α_n≠0，若
Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n—1=α_n，Aα_n=0．
(1)证明：α₁，α₂，…，α_n线性无关；
(2)求A的特征值与特征向量．

选项

答案(1)令x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=0，则 x₁Aα₁+x₂Aα₂+…+x_nAα_n=0→x₁α₂+x₂α₃+…+x_n—1α_n=0 x₁Aα₂+x₂Aα₃+…+x_n—1Aα_n=0→x₁α₃+x₂α₄+…+x_n—2α_n=0 x₁α_n=0 因为a_n≠0，所以x₁=0，反推可得x₂=…=x_n=0，所以α₁，α₂，…，α_n线性无关． (2)A(α₁，α₂，…，α_n)=(α₁，α₂，…，α_n)[*]=B，则A与B相似，由｜λE一B｜=0→λ₁=…=λ_n=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aα_n=0α_n(α_n≠0)，所以A的全部特征向量为kα_n(k≠0)．

解析

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考研数学一

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设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

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