设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

admin2016-10-13 31

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维列向量，且α_n≠0，若
Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n—1=α_n，Aα_n=0．
(1)证明：α₁，α₂，…，α_n线性无关；
(2)求A的特征值与特征向量．

选项

答案(1)令x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=0，则 x₁Aα₁+x₂Aα₂+…+x_nAα_n=0→x₁α₂+x₂α₃+…+x_n—1α_n=0 x₁Aα₂+x₂Aα₃+…+x_n—1Aα_n=0→x₁α₃+x₂α₄+…+x_n—2α_n=0 x₁α_n=0 因为a_n≠0，所以x₁=0，反推可得x₂=…=x_n=0，所以α₁，α₂，…，α_n线性无关． (2)A(α₁，α₂，…，α_n)=(α₁，α₂，…，α_n)[*]=B，则A与B相似，由｜λE一B｜=0→λ₁=…=λ_n=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aα_n=0α_n(α_n≠0)，所以A的全部特征向量为kα_n(k≠0)．

解析

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考研数学一

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设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

考研数学一

[*]

-1

设g(x)在点x=0连续，求f(x)＝g(x)•sin2x在点x＝0的导数．

已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)单调减少；且f(1)=f’(1)=1，则

设α,β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：秩r(A)≤2；

设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L经过点(3／2，3／2)，求L的方程．

设α1，α2，α3是四元非齐次方程组AX＝b的三个解向量。且秩r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x＝()．

设常数a≠1/2,则=________．

设f有连续导数，，其中∑是由y=x2+z2和y=8-x2-z2所围立体的外侧，则I=()．

设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．

简述市场调研报告前文部分的摘要通常包括哪些内容。

嗜铬细胞瘤病人血压可表现为

支气管肺炎传染性非典型肺炎

秦某，女，41岁。患者长期脑力劳动，压力较大，经常不能安眠，每日需服用地西泮(安定)，已成习惯。但仍不寐多梦，急躁易怒，月事提前，伴有头晕头胀，双目红赤，耳鸣，大便干，小便短赤。舌红苔黄，脉弦数。应辩证为

肺手术切断肺韧带时，应多注意保护的结构是()。

在投资建设领域落实科学发展观的首要因素是()

甲企业会计人员在结账前进行对账时，查找出以下错账。(1)用银行存款预付建造固定资产的工程价款86000元，编制的会计分录借：在建工程86000贷：银行存款86000在过账时，“在建工程”账户记

下列程序的输出结果是______。#include＜stdio.h＞f(char8s){charp=s；while(p!=’\0’)p++;return(p-s)；}main(){printf("%d\n"，f("AB

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若 Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0． (1)证明：α1，α2，…，αn线性无关； (2)求A的特征值与特征向量．

考研数学一

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设g(x)在点x=0连续，求f(x)＝g(x)•sin2x在点x＝0的导数．

已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)单调减少；且f(1)=f’(1)=1，则

设α,β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：秩r(A)≤2；

设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L经过点(3／2，3／2)，求L的方程．

设α1，α2，α3是四元非齐次方程组AX＝b的三个解向量。且秩r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x＝()．

设常数a≠1/2,则=________．

设f有连续导数，，其中∑是由y=x2+z2和y=8-x2-z2所围立体的外侧，则I=()．

设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．

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秦某，女，41岁。患者长期脑力劳动，压力较大，经常不能安眠，每日需服用地西泮(安定)，已成习惯。但仍不寐多梦，急躁易怒，月事提前，伴有头晕头胀，双目红赤，耳鸣，大便干，小便短赤。舌红苔黄，脉弦数。应辩证为

肺手术切断肺韧带时，应多注意保护的结构是()。

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甲企业会计人员在结账前进行对账时，查找出以下错账。(1)用银行存款预付建造固定资产的工程价款86000元，编制的会计分录借：在建工程86000贷：银行存款86000在过账时，“在建工程”账户记

下列程序的输出结果是______。#include＜stdio.h＞f(char8s){char*p=s；while(*p!=’\0’)p++;return(p-s)；}main(){printf("%d\n"，f("AB

下列程序的输出结果是______。#include＜stdio.h＞f(char8s){charp=s；while(p!=’\0’)p++;return(p-s)；}main(){printf("%d\n"，f("AB