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求G(x)=∫0xf(t)g(x一t)dt,其中f(x)=x(x≥0),g(x)=
求G(x)=∫0xf(t)g(x一t)dt,其中f(x)=x(x≥0),g(x)=
admin
2017-10-23
13
问题
求G(x)=∫
0
x
f(t)g(x一t)dt,其中f(x)=x(x≥0),g(x)=
选项
答案
令x一t=u,于是t=x—u,且当t从0变到x对应于u从x变到0,dt=一du,故可得 G(x)=∫
0
x
f(t)g(x—t)dt=∫
0
x
f(x一u)g(u)(一du)=∫
0
x
g(u)f(x一u)du =∫
0
x
g(t)f(x一t)dt. 又由题设知f(x一t)=x一t(t≤x),注意到积分变量t总不会大于x,因而 当0≤x≤[*]时, G(x)=∫
0
x
g(t)f(x—t)dt=∫
0
x
sint.(x—t)dt=一∫
0
x
(x—t)d(cost)=x—sinx. 当x>[*]时, G(x)=∫
0
x
g(t)f(x一t)dt=[*](x一t)dt=x—1. 综合得 G(x)=[*] 若被积函数的原函数是分段表示的,则也要用分段积分法求定积分.
解析
本题的特点是积分中含有参数x,且它的取值范围是[0,+∞),由于当参数x在不同区上取值时被积函数有不同表达式,从而需要分段积分.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GzX4777K
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考研数学三
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