设α=（1，0，1）T，A=ααT，若B=（kE +A）*是正定矩阵，则k的取值范围是________。

admin2017-01-21 54

问题设α=（1，0，1）^T，A=αα^T，若B=（kE +A）^*是正定矩阵，则k的取值范围是________。

选项

答案k＞0或k＜—2

解析矩阵A=αα^T的秩为1，且tr（A）=α^Tα=2，故矩阵A的特征值是2，0，0，从而矩阵kE +A的
特征值是k+2，k，k。矩阵B=（kE+A）^*=|kE+A|（kE+A）^—1的特征值是k²，k（k +2），k（k +2）。
矩阵B正定的充要条件是特征值均大于零，即k²＞0且k（k +2）＞0，解得k＞0或k＜—2。

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考研数学三

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