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  3. 设f(x)在[0，+∞)上连续且单调增加，试证：对任意的a、b>0，恒有∫abxf(x)≥[b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx]．

设f(x)在[0，+∞)上连续且单调增加，试证：对任意的a、b>0，恒有∫abxf(x)≥[b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx]．

admin2017-05-31  24
问题 设f(x)在[0，+∞)上连续且单调增加，试证：对任意的a、b>0，恒有∫abxf(x)≥[b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx]．
选项
答案作辅助函数F(x)=x∫0xf(t)dt，则F’(x)=∫0xf(t)dt+xf(x)．于是， F(b)一F(a)=∫abF’(x)dx =∫ab[∫0xf(t)dt+xf(x)]dx ≤∫ab[xf(x)+xf(x)]dx =2∫abxf(x)dx， 即[*]
解析 待证结论的右边b∫0bf(x)dx－a∫0af(x)dx可看作是函数F(x)=x∫0xf(t)dx
    在a、b两点函数的差，所以可考虑用积分基本公式进行放缩．
涉及某两点函数值之差的问题，一般可考虑先用微分中值定理或牛顿一莱布尼兹公式处理．
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