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设f(x)在[0,+∞)上连续且单调增加,试证:对任意的a、b>0,恒有∫abxf(x)≥[b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx].
设f(x)在[0,+∞)上连续且单调增加,试证:对任意的a、b>0,恒有∫abxf(x)≥[b∫0bf(x)dx一a∫0af(x)dx].
admin
2017-05-31
63
问题
设f(x)在[0,+∞)上连续且单调增加,试证:对任意的a、b>0,恒有∫
a
b
xf(x)≥
[b∫
0
b
f(x)dx一a∫
0
a
f(x)dx].
选项
答案
作辅助函数F(x)=x∫
0
x
f(t)dt,则F’(x)=∫
0
x
f(t)dt+xf(x).于是, F(b)一F(a)=∫
a
b
F’(x)dx =∫
a
b
[∫
0
x
f(t)dt+xf(x)]dx ≤∫
a
b
[xf(x)+xf(x)]dx =2∫
a
b
xf(x)dx, 即[*]
解析
待证结论的右边b∫
0
b
f(x)dx-a∫
0
a
f(x)dx可看作是函数F(x)=x∫
0
x
f(t)dx
在a、b两点函数的差,所以可考虑用积分基本公式进行放缩.
涉及某两点函数值之差的问题,一般可考虑先用微分中值定理或牛顿一莱布尼兹公式处理.
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考研数学一
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-2.6
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