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  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2020-05-02  21
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案方法一 令[*]0≤x≤π，则F(0)=F(π)=0．又因为 [*] 根据已知条件[*]可得[*]再由积分中值定理知：至少存在一点ξ∈[0，π]，使得F(ξ)sinξ=0．如果仅当ξ=0或π时，使得F(ξ)sinξ0，那么由F(x)sinx在(0，π)内的连续性知，F(x)sinx在(0，π)内恒正或恒负．不妨设F(x)sinx＞0，x∈(0，π)，即[*]与已知条件矛盾．因此，存在一点ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，进而F(ξ)=0． 由上式得F(0)=F(π)=F(ξ)=0． 再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔中值定理，可得：至少存在点ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使f(ξ1)=f(ξ2)=0． 方法二 由[*]知，存在ξ1∈(0，π)使得f(ξ1)=0，否则，在(0，π)内f(x)恒为正或恒为负，均与[*]矛盾． 若在(0，π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ1，则由[*]可知，f(x)在区间(0，ξ1)和(ξ1，π)内异号，不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0．于是再由[*]及cosx在[0，π]上的单调性，知 [*] 又 [*] 与上式矛盾．因此，在(0，π)内除ξ1外，f(x)=0在(0，兀)内还有一个实根x=ξ2，故在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．
解析
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考研数学一

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