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  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导． (I)若f(a)=0，f(b)

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导． (I)若f(a)=0，f(b)

admin2017-12-21  81
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
    (I)若f(a)=0，f(b)<0,f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．
    (Ⅱ)若证明：存在η∈(a，b)，使得f"(η)=f(η)．
选项
答案(I)因为f＇+(a)＞0，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因为f(c)f(b)＜0，所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f＇(x1)=0． 令φ(x)=f(x)f＇(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)[*](a，b)，使得φ＇(ξ)=0．而φ＇(x)=f(x)f"(x)+f＇2(x)，所以f(ξ)f"(ξ)+f＇2(ξ)=0． (Ⅱ)令[*]因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F＇(c)=0，即f(c)=0． 令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h＇(ξ1)=h＇(ξ2)=0，则h＇(x)=ex[f(x)+f＇(x)]，所以f(ξ1)+f＇(ξ1)=0，f(ξ2)+f＇(ξ2)=0． 再令G(x)=e－x[f(x)+f＇(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得G＇(η)=0，而G’(x)=e-x[f"(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f"(η)=f(η)．
解析
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考研数学三

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