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设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f"(x)<0,又b>a,f(b)>0,f’(b)<0,求证: (Ⅰ); (Ⅱ)方程f(x)=0在[b,+∞)内有且仅有一个实根. (Ⅲ)设又有f(a)>0,则方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.
设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f"(x)<0,又b>a,f(b)>0,f’(b)<0,求证: (Ⅰ); (Ⅱ)方程f(x)=0在[b,+∞)内有且仅有一个实根. (Ⅲ)设又有f(a)>0,则方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.
admin
2015-04-30
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问题
设函数f(x)在[a,+∞)内二阶可导且f"(x)<0,又b>a,f(b)>0,f’(b)<0,求证:
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)方程f(x)=0在[b,+∞)内有且仅有一个实根.
(Ⅲ)设又有f(a)>0,则方程f(x)=0在[a,+∞)内有且仅有一个实根.
选项
答案
(Ⅰ)f"(x)<0(x∈[0,+∞))→f(x)在[a,+∞)是凸函数→ f(x)<f(b)+f’(b)(x一b) (x∈[a,+∞),x≠b). [*] (Ⅱ)f(x)在[a,+∞)连续,f(b)>0,[*](a,+∞)有一个零点. 因f"(x)<0(x∈[a,+∞))→f’(x)在[a,+∞)[*].由f’(b)<0→f’(x)<0(x>b)→f(x)在[b,+∞)[*]→f(x)在(b,+∞)只有唯一零点. (Ⅲ)由题(Ⅱ)只须证f(x)>0(x∈[a,b]).当x∈[a,b]时,由于f’(b)<0,f’(x)[*],只有以下两种情形: 1° f’(a)≤0,f’(x)<0(x∈(a,b])→f(x)在[a,b][*],如图(1)→ f(x)≥f(b)>0(x∈[a,b]); [*] → f(x)≥f(a)>0(0≤x≤x
0
), f(x)≥f(b)>0 (x
0
≤x≤b) →f(x)>0(x∈[a,b]). 因此f(x)在[a,+∞)有唯一零点,即方程f(x)=0在[a,+∞)有且仅有一个实根.
解析
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考研数学二
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