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设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,并当x>0时满足 xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e—x. (Ⅰ)求证:当x>0时f"(x)<1. (Ⅱ)又设f(0)=f’(0)=0,求证:当x>0时f(x)<x2.
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,并当x>0时满足 xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e—x. (Ⅰ)求证:当x>0时f"(x)<1. (Ⅱ)又设f(0)=f’(0)=0,求证:当x>0时f(x)<x2.
admin
2015-04-30
39
问题
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,并当x>0时满足
xf"(x)+3x[f’(x)]
2
≤1一e
—x
.
(Ⅰ)求证:当x>0时f"(x)<1.
(Ⅱ)又设f(0)=f’(0)=0,求证:当x>0时f(x)<
x
2
.
选项
答案
(Ⅰ)由假设条件有 [*] 令F(x)=x一(1一e
—x
)=x+e
—x
一1, → F(0)=0, F’(x)=1—e
—x
>0(x>0) → F(x)在[0,+∞)单调增加,F(x)>F(0)=0(x>0), [*]
解析
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考研数学二
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