2. 考研
  3. 设函数y(x)在(一∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (I)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程； (II)求解变换后的微分方程的通解．

设函数y(x)在(一∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． (I)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程； (II)求解变换后的微分方程的通解．

admin2015-04-30  55
问题 设函数y(x)在(一∞，+∞)内有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(I)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程；
(II)求解变换后的微分方程的通解．
选项
答案(Ⅰ)[*] (Ⅱ)y"一y=sinx对应齐次方程y"一y=0的特征根为r=±1，因此对应齐次方程通解为[*] 在y"一y=sinx中，由于r=i不是相应齐次方程的特征根，因此它有形如y=Acosx+Bsinx的特解，将其代入y"一y=sinx中，可得A=0，[*]，因而方程y"一y=sinx有特解y*=[*]，故方程y"一y=sinx的通解为[*]．
解析 本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出之间的联系，再代入方程使之简化，从而将非常数系数方程化为常系数线性微分方程再求解．
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考研数学三

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