设函数y(x)在(一∞,+∞)内有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. (I)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程; (II)求解变换后的微分方程的通解.

admin2015-04-30  45

问题 设函数y(x)在(一∞,+∞)内有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
(I)试将x=x(y)所满足的方程变换成y=y(x)所满足的微分方程;
(II)求解变换后的微分方程的通解.

选项

答案(Ⅰ)[*] (Ⅱ)y"一y=sinx对应齐次方程y"一y=0的特征根为r=±1,因此对应齐次方程通解为[*] 在y"一y=sinx中,由于r=i不是相应齐次方程的特征根,因此它有形如y=Acosx+Bsinx的特解,将其代入y"一y=sinx中,可得A=0,[*],因而方程y"一y=sinx有特解y*=[*],故方程y"一y=sinx的通解为[*].

解析 本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出之间的联系,再代入方程使之简化,从而将非常数系数方程化为常系数线性微分方程再求解.
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