(Ⅰ)设f(x)在[x0,x0+δ)(x0-δ,x0])连续,在(x0,x0+δ)((x0-δ,x0))可导,又=A(=A),求证:f′+(x0)=A(f′-(x0)=A). (Ⅱ)设f(x)在(x0-δ,x0+δ)连续,在(x0-δ,x0+δ)/{x0}

admin2016-10-26  21

问题 (Ⅰ)设f(x)在[x0,x0+δ)(x0-δ,x0])连续,在(x0,x0+δ)((x0-δ,x0))可导,又=A(=A),求证:f′+(x0)=A(f′(x0)=A).
(Ⅱ)设f(x)在(x0-δ,x0+δ)连续,在(x0-δ,x0+δ)/{x0}可导,又f′(x)=A,求证:f′(x0)=A.
(Ⅲ)设f(x)在(a,b)可导,x0∈(a,b)是f′(x)的间断点,求证:x=x0是f′(x)的第二类间断点.

选项

答案(Ⅰ)f′+(x0)[*]f′(x)=A.另一类似. (Ⅱ)由题(Ⅰ)[*]f′+(x0)=f′(x0)=A[*]f′(x0)=A.或类似题(Ⅰ),直接证明 [*] (Ⅲ)即证[*]f′(x)中至少一个不[*].若它们均存在,[*]f′(x)=A±,由题(Ⅰ)[*]f′±(x0)=A±.因f(x)在x0可导[*]f′(x)在x=x0连续,与已知矛盾.因此,x=x0是f′(x)的第二类间断点.

解析
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