2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=lα1+kα2，Aα3=lα2+kα3，l≠0，证明α1，α2，α3线性无关．

设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=lα1+kα2，Aα3=lα2+kα3，l≠0，证明α1，α2，α3线性无关．

admin2016-10-26  50
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=lα1+kα2，Aα3=lα2+kα3，l≠0，证明α1，α2，α3线性无关．
选项
答案若k1α1+k2α2+k3α3=0，用A一KE左乘有 k1(A—kE)α1+k2(A—kE)α2+k3(A—kE)α3=0， 即 k2lα1+k3lα2=0， 亦即k2α1+k3α2=0． 再用A一KE左乘，可得k3α1=0． 由α1≠0，故必有k3=0，依次往上代入得k2=0及k1=0，所以α1，α2，α3线性无关．
解析 对k1α1+k2α2+k3α3=0，如何证明组合系数k1=k2=k3=0呢?要作恒等变形就应仔细分析已知条件，Aαi的条件其实就是
(A—kE)α1=0，  (A—kE)α2=lα1，  (A—kE)α3=lα2．
这启发我们应用A—kE左乘来作恒等变形．   
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考研数学一

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