设可导函数φ(χ)满足φ(χ)cosχ＋2∫0χφ(t)sintdt＝χ＋1，求φ(χ)．

admin2017-04-18 29

问题设可导函数φ(χ)满足φ(χ)cosχ＋2∫₀^χφ(t)sintdt＝χ＋1，求φ(χ)．

选项

答案在方程φ(χ)cosχ＋2∫₀^χφ(t)sintdt＝χ＋1两端关于χ求导，得 φ′(χ)cosχ－φ(χ)sinχ＋2φ(χ)sinχ＝1，即φ′＋tanχ.φ＝secχ，且在原方程中取χ＝0．可得φ(0)＝1．由一阶线性方程的通解公式，得 φ＝[*] ＝cosχ(∫sec²χdχ＋C)＝cosχ(tanχ＋C) ＝sinχ＋Ccosχ．代入初值条件χ＝0，φ＝1，可得C＝1，故 φ(χ)＝sinχ＋cosχ．

解析

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