2. 考研
  3. 已知y1*(χ)＝χe－χ＋e－2χ，y2*(χ)＝χe－χ＋χe－2χ，y3*(χ)＝χe－χ＋eχ－2χ＋χe－2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞＋Py′＋qy＝f(y)的三个特解． (Ⅰ)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y＝y(χ)是

已知y1*(χ)＝χe－χ＋e－2χ，y2*(χ)＝χe－χ＋χe－2χ，y3*(χ)＝χe－χ＋eχ－2χ＋χe－2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞＋Py′＋qy＝f(y)的三个特解． (Ⅰ)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y＝y(χ)是

admin2017-11-21  25
问题 已知y1*(χ)＝χe－χ＋e－2χ，y2*(χ)＝χe－χ＋χe－2χ，y3*(χ)＝χe－χ＋eχ－2χ＋χe－2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞＋Py′＋qy＝f(y)的三个特解．
    (Ⅰ)求这个方程和它的通解；
    (Ⅱ)设y＝y(χ)是该方程满足y(0)＝0，y′(0)＝0的特解，求∫0＋∞y(χ)dχ．
选项
答案(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理[*] y1(χ)＝y3*(χ)－y2*(χ)＝e－2χ， y2(χ)＝y3*(χ)－y1*(χ)＝χe－2χ 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根λ＝－2，相应的特征方程为 (λ＋2)2＝0，即λ2＋4λ＋4＝0． 原方程为y〞＋4y′＋4y＝f(χ)． ① 由于y*(χ)＝χe－χ是它的特解，求导得 y*′(χ)＝e－χ(1－χ)，y*〞(χ)＝e－χ(χ－2)． 代入方程①得e－χ(χ－2)＋4e－χ(1－χ)＋4χe－χ＝f(χ) [*]f(χ)＝(χ＋2)e－χ [*]原方程为y〞＋4y′＋4y＝(χ＋2)e－χ，其通解为 y＝C1e－2χ＋C2χe－2χ＋χe－χ，其中C1，C2为[*]常数． (Ⅱ)[*]C1，C2，方程的[*]解y(χ)均有 [*] 不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得 [*]
解析
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考研数学二

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