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已知y1*(χ)=χe-χ+e-2χ,y2*(χ)=χe-χ+χe-2χ,y3*(χ)=χe-χ+eχ-2χ+χe-2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞+Py′+qy=f(y)的三个特解. (Ⅰ)求这个方程和它的通解; (Ⅱ)设y=y(χ)是
已知y1*(χ)=χe-χ+e-2χ,y2*(χ)=χe-χ+χe-2χ,y3*(χ)=χe-χ+eχ-2χ+χe-2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞+Py′+qy=f(y)的三个特解. (Ⅰ)求这个方程和它的通解; (Ⅱ)设y=y(χ)是
admin
2017-11-21
39
问题
已知y
1
*
(χ)=χe
-χ
+e
-2χ
,y
2
*
(χ)=χe
-χ
+χe
-2χ
,y
3
*
(χ)=χe
-χ
+eχ
-2χ
+χe
-2χ
是某二阶线性常系数微分方程y〞+Py′+qy=f(y)的三个特解.
(Ⅰ)求这个方程和它的通解;
(Ⅱ)设y=y(χ)是该方程满足y(0)=0,y′(0)=0的特解,求∫
0
+∞
y(χ)dχ.
选项
答案
(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理[*] y
1
(χ)=y
3
*
(χ)-y
2
*
(χ)=e
-2χ
, y
2
(χ)=y
3
*
(χ)-y
1
*
(χ)=χe
-2χ
均是相应的齐次方程的解,它们是线性无关的.于是该齐次方程的特征根是重根λ=-2,相应的特征方程为 (λ+2)
2
=0,即λ
2
+4λ+4=0. 原方程为y〞+4y′+4y=f(χ). ① 由于y
*
(χ)=χe
-χ
是它的特解,求导得 y
*′
(χ)=e
-χ
(1-χ),y
*〞
(χ)=e
-χ
(χ-2). 代入方程①得e
-χ
(χ-2)+4e
-χ
(1-χ)+4χe
-χ
=f(χ) [*]f(χ)=(χ+2)e
-χ
[*]原方程为y〞+4y′+4y=(χ+2)e
-χ
,其通解为 y=C
1
e
-2χ
+C
2
χe
-2χ
+χe
-χ
,其中C
1
,C
2
为[*]常数. (Ⅱ)[*]C
1
,C
2
,方程的[*]解y(χ)均有 [*] 不必由初值来定C
1
,C
2
,直接将方程两边积分得 [*]
解析
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考研数学二
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