2. 考研
  3. 设A是n(n＞1)阶方阵，ξ1，ξ2，…，ξn是n维列向量，已知Aξ1＝ξ2，Aξ2＝ξ2…，Aξn-1＝ξn，Aξn＝0，且ξn≠0． (Ⅰ)证明ξ1，ξ2，…，n线性无关； (Ⅱ)求Aχ＝0的通解； (Ⅲ)求出A的全部特征值和特

设A是n(n＞1)阶方阵，ξ1，ξ2，…，ξn是n维列向量，已知Aξ1＝ξ2，Aξ2＝ξ2…，Aξn-1＝ξn，Aξn＝0，且ξn≠0． (Ⅰ)证明ξ1，ξ2，…，n线性无关； (Ⅱ)求Aχ＝0的通解； (Ⅲ)求出A的全部特征值和特

admin2016-03-16  49
问题 设A是n(n＞1)阶方阵，ξ1，ξ2，…，ξn是n维列向量，已知Aξ1＝ξ2，Aξ2＝ξ2…，Aξn-1＝ξn，Aξn＝0，且ξn≠0．
    (Ⅰ)证明ξ1，ξ2，…，n线性无关；
    (Ⅱ)求Aχ＝0的通解；
    (Ⅲ)求出A的全部特征值和特征向量，并证明A不可对角化．
选项
答案(Ⅰ)设k1ξ1＋k2ξ2＋…＋knξn＝0，依次在等式两边左乘A，A2，…，An-2，An-1，分别得 k1ξ2＋k2ξ3＋…＋kn-1ξn＝0， k1ξ3＋k2ξ4＋…＋kn-1ξn＝0， …… k1ξn-1＋k2ξn＝0 k1ξn＝0， 因为ξn≠0，故k1＝0，并依次回代得k2＝…αkn-1＝kn＝0，所以ξ1，ξ2，…，ξn线性无关． (Ⅱ)由题意知 [*] 又因为ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，故r(A)＝n－1，所以Aχ＝0的基础解系中只有一个解向量，而Aξn＝0，ξn≠0，因此ξn为Aχ＝0的一个基础解系，所以Aχ＝0的通解为kξn，k为任意常数． (Ⅲ)记P＝(ξ1，ξ2，…，ξn)，则P可逆，且 [*] 由此可得A的特征值λ1＝λ2…λn＝0，其特征向量为kξn(k≠0)，从而A的属于特征值0的线性无关的特征向量仅有一个，故A不可对角化．
解析
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考研数学二

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