2. 考研
  3. 设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆阵P，使P－1AP=A．

设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆阵P，使P－1AP=A．

admin2016-09-19  49
问题 设α=[a1，a2，…，an]T≠0，A=ααT，求可逆阵P，使P－1AP=A．
选项
答案(1)先求A的特征值． 利用特征值的定义． 设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=ααTξ=λξ ． ④ 若αTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0； 若αTξ≠0，①式两端左乘αT， αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)． 因αTξ≠0，故λ=αTα=[*] (2)再求A的对应于λ的特征向量． 当λ=0时， (λE－A)X=[*]=0， 即解方程 a1x1+a2x2+…+anxn=0， 得特征向量为(设a1≠0) ξ1=[a2，－a1，0，…，0]T， ξ2=[a3，0，－a1，0]T， …… ξn=[an，0，…，－a1]T． 当λ=[*]时， (λE－A)X=[*]=0． 由观察知ξn=[a1，a2，…，an]T． (3)由ξ1，ξ2，…，ξn，得可逆阵P． [*] 且[*]
解析
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考研数学三

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