证明:∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx.

admin2015-07-22  37

问题 证明:∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx.

选项

答案本题看似是二重积分问题,事实上,用代换t=xy可将累次积分化为定积分. 在∫01(xy)xydy中,视x为常数,令t=xy,dt=xdy,当y从0变到1时,t从0变到x,则 [*] 于是也就是要证明 一∫01ttlntdt=∫01ttdt, 移项后就是要证明 ∫01tt(1+ln t)dt=0. 事实上, (1+in t)dt=etlnt(1+ln t)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt),故 ∫01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0.

解析
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