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利用施瓦兹不等式证明: 若f,g都在[a,b]上可积,则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式: [∫ab(f(x)+g(x))2dx]1/2≤[∫abf2(x)dx]1/2+[∫abg2(x)dx]1/2.
利用施瓦兹不等式证明: 若f,g都在[a,b]上可积,则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式: [∫ab(f(x)+g(x))2dx]1/2≤[∫abf2(x)dx]1/2+[∫abg2(x)dx]1/2.
admin
2022-11-23
3
问题
利用施瓦兹不等式证明:
若f,g都在[a,b]上可积,则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式:
[∫
a
b
(f(x)+g(x))
2
dx]
1/2
≤[∫
a
b
f
2
(x)dx]
1/2
+[∫
a
b
g
2
(x)dx]
1/2
.
选项
答案
由施瓦兹不等式,得 ∫
a
b
(f(x)+g(x))
2
dx=∫
a
b
f
2
(x)dx+z∫
a
b
f(x)g(x)dx+∫
a
b
g
2
(x)dx ≤∫
a
b
f
2
(x)dx+2[∫
a
b
f
2
(x)dx·∫
a
b
g
2
(x)dx]
1/2
+∫
a
b
g
2
(x)dx =[(∫
a
b
f
2
(x)dx)
1/2
+(∫
a
b
g
2
(x)dx)
1/2
]
2
. 故[∫
a
b
(f(x)+g(x))
2
dx]
1/2
≤[∫
a
b
f
2
(x)dx]
1/2
+[∫
a
b
g
2
(x)dx]
1/2
.
解析
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考研数学三
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