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设A为三阶实对称矩阵,若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=且A*α=α. (Ⅰ)求正交矩阵Q; (Ⅱ)求矩阵A.
设A为三阶实对称矩阵,若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=且A*α=α. (Ⅰ)求正交矩阵Q; (Ⅱ)求矩阵A.
admin
2020-02-28
42
问题
设A为三阶实对称矩阵,若存在正交矩阵Q,使得Q
T
AQ=
且A
*
α=α.
(Ⅰ)求正交矩阵Q;
(Ⅱ)求矩阵A.
选项
答案
(Ⅰ)显然A的特征值为λ
1
=λ
2
=-1,λ
3
=2,A
*
的特征值为μ
1
=μ
2
=-2,μ
3
=1,因为α为A
*
的属于特征值μ
3
=1的特征向量,所以α是A的属于特征值λ
3
=2的特征向量,令α=α
3
. 令A的属于特征值λ
1
λ
2
=-1的特征向量为ξ=[*],因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,所以-χ
1
-χ
2
+χ
3
=0,则A的属于特征值λ
1
=λ
2
=-1的线性无关的特征向量为 [*].
解析
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考研数学二
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