2. 考研
  3. 设f(x)为连续函数。 (Ⅰ)求初值问题的解y(x)，其中a为正的常数； (Ⅱ)若|f(x)|≤k(k为常数)，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤(1一e—ax)。

设f(x)为连续函数。 (Ⅰ)求初值问题的解y(x)，其中a为正的常数； (Ⅱ)若|f(x)|≤k(k为常数)，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤(1一e—ax)。

admin2017-01-18  35
问题 设f(x)为连续函数。
  (Ⅰ)求初值问题的解y(x)，其中a为正的常数；
  (Ⅱ)若|f(x)|≤k(k为常数)，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤(1一e—ax)。
选项
答案(Ⅰ)先求解对应的齐次方程y’+ay=0，可得其通解为ln|y|=一ax+C，整理可得y=Ce—ax。 根据常数变易法，令非齐次方程的通解为y=C(x)e—ax，代入原非齐次方程可得 C’(x)e—ax一aC(x)e—ax+aC(x)e—ax=f(x)。 故C’(x)=eaxf(x)，积分可得 C(x)=∫0xeatf(t)dt+C， 故y=(∫0xeatf(t)dt+C)dt+C)e—ax。由y|x=0=0，可知C=0，从而 y=e—ax∫0xeatf(t)dt。 (Ⅱ)由题意可知|y|=e—ax|∫0xeatf(t)dt| ≤e—ax∫0xeat|f(t)|dt ≤ke—ax∫0xeatdt =[*](1一e—ax)。
解析
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考研数学二

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