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设f(x)为连续函数。 (Ⅰ)求初值问题的解y(x),其中a为正的常数; (Ⅱ)若|f(x)|≤k(k为常数),证明:当x≥0时,有|y(x)|≤(1一e—ax)。
设f(x)为连续函数。 (Ⅰ)求初值问题的解y(x),其中a为正的常数; (Ⅱ)若|f(x)|≤k(k为常数),证明:当x≥0时,有|y(x)|≤(1一e—ax)。
admin
2017-01-18
53
问题
设f(x)为连续函数。
(Ⅰ)求初值问题
的解y(x),其中a为正的常数;
(Ⅱ)若|f(x)|≤k(k为常数),证明:当x≥0时,有|y(x)|≤
(1一e
—ax
)。
选项
答案
(Ⅰ)先求解对应的齐次方程y’+ay=0,可得其通解为ln|y|=一ax+C,整理可得y=Ce
—ax
。 根据常数变易法,令非齐次方程的通解为y=C(x)e
—ax
,代入原非齐次方程可得 C’(x)e
—ax
一aC(x)e
—ax
+aC(x)e
—ax
=f(x)。 故C’(x)=e
ax
f(x),积分可得 C(x)=∫
0
x
e
at
f(t)dt+C, 故y=(∫
0
x
e
at
f(t)dt+C)dt+C)e
—ax
。由y|
x=0
=0,可知C=0,从而 y=e
—ax
∫
0
x
e
at
f(t)dt。 (Ⅱ)由题意可知|y|=e
—ax
|∫
0
x
e
at
f(t)dt| ≤e
—ax
∫
0
x
e
at
|f(t)|dt ≤ke
—ax
∫
0
x
e
at
dt =[*](1一e
—ax
)。
解析
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考研数学二
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