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设随机变量X与Y相互独立,且都服从参数为λ的指数分布. (1)求Z=X+Y的概率密度; (Ⅱ)设Z1,Z2,…Zn为来自总体z的简单随机样本,求λ的矩估计量与最大似然估计量.
设随机变量X与Y相互独立,且都服从参数为λ的指数分布. (1)求Z=X+Y的概率密度; (Ⅱ)设Z1,Z2,…Zn为来自总体z的简单随机样本,求λ的矩估计量与最大似然估计量.
admin
2020-09-23
66
问题
设随机变量X与Y相互独立,且都服从参数为λ的指数分布.
(1)求Z=X+Y的概率密度;
(Ⅱ)设Z
1
,Z
2
,…Z
n
为来自总体z的简单随机样本,求λ的矩估计量与最大似然估计量.
选项
答案
(I)依题意知,X与Y的概率密度分别为 [*] 由于X与Y相互独立,故(X,Y)的概率密度为 [*] Z=X+Y的分布函数为F
Z
(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}. 当z≤0时,F
Z
(z)=0; 当z>0时, [*] 其中D如右图所示,则 F
Z
(z)=∫
0
z
dx∫
0
z-x
λ
2
e
λ(x+y)
dy =∫
0
z
(λe
-λx
—λe
-λz
)dx =1-e
-λz
—λze
-λz
. [*] 故Z=X+Y的概率密度为 [*] (Ⅱ)先求λ的矩估计量. [*] 再求λ的最大似然估计量. 样本的似然函数为 [*] 得[*]故λ的最大似然估计量为[*]
解析
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考研数学一
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