2. 考研
  3. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布． (1)求Z=X+Y的概率密度； (Ⅱ)设Z1，Z2，…Zn为来自总体z的简单随机样本，求λ的矩估计量与最大似然估计量．

设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布． (1)求Z=X+Y的概率密度； (Ⅱ)设Z1，Z2，…Zn为来自总体z的简单随机样本，求λ的矩估计量与最大似然估计量．

admin2020-09-23  71
问题 设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布．
  (1)求Z=X+Y的概率密度；
  (Ⅱ)设Z1，Z2，…Zn为来自总体z的简单随机样本，求λ的矩估计量与最大似然估计量．
选项
答案(I)依题意知，X与Y的概率密度分别为 [*] 由于X与Y相互独立，故(X，Y)的概率密度为 [*] Z=X+Y的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}． 当z≤0时，FZ(z)=0； 当z＞0时， [*] 其中D如右图所示，则 FZ(z)=∫0zdx∫0z-xλ2eλ(x+y)dy =∫0z(λe-λx—λe-λz)dx =1-e-λz—λze-λz． [*] 故Z=X+Y的概率密度为 [*] (Ⅱ)先求λ的矩估计量． [*] 再求λ的最大似然估计量． 样本的似然函数为 [*] 得[*]故λ的最大似然估计量为[*]
解析
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考研数学一

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