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  3. 设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=2e-(x+y)，0＜x＜y＜+∞，Z=X+Y． 求Cov(X，Z)．

设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=2e-(x+y)，0＜x＜y＜+∞，Z=X+Y． 求Cov(X，Z)．

admin2023-01-04  19
问题 设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=2e-(x+y)，0＜x＜y＜+∞，Z=X+Y．
求Cov(X，Z)．
选项
答案先求Z的概率密度fZ(z)．用卷积公式， fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z-x)dx，x＞0，z-x＞x， 即x＞0，z＞2x，如图3-3所示． [*] 当z＜0时，fZ(z)=0． 当z≥0时， fZ(z)=∫0z／22e-(x+z-x)dx=2e-z∫0z／2dx=ze-z， 即fZ(z)=[*] Cov(X，Z)=E(XZ)-EX·EZ=E[X(X+Y)]-EX·EZ =E(X2)+E(XY)-EX·EZ． EX=∫-∞+∞xfX(x)dx=∫0+∞x·2e-2xdx [*] EZ=∫0+∞zfZ(z)dz=∫0+∞z2e-zdz=Γ(3)=2， E(X2)=∫0+∞x2·2e-2xdx=1／2， E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x，y)dxdy=∫0+∞dy∫0yxy·2e-(x+y)dx =∫0+∞ye-ydy∫0yx·2e-xdx=1， 故 [*]
解析
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考研数学一

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