设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=2e-(x+y)，0＜x＜y＜+∞，Z=X+Y．求Cov(X，Z)．

admin2023-01-04 12

问题设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=2e^-(x+y)，0＜x＜y＜+∞，Z=X+Y．
求Cov(X，Z)．

选项

答案先求Z的概率密度f_Z(z)．用卷积公式， f_Z(z)=∫_-∞^+∞f(x，z-x)dx，x＞0，z-x＞x，即x＞0，z＞2x，如图3-3所示． [*] 当z＜0时，f_Z(z)=0．当z≥0时， f_Z(z)=∫₀^z／22e^-(x+z-x)dx=2e^-z∫₀^z／2dx=ze^-z，即f_Z(z)=[*] Cov(X，Z)=E(XZ)-EX·EZ=E[X(X+Y)]-EX·EZ =E(X²)+E(XY)-EX·EZ． EX=∫_-∞^+∞xf_X(x)dx=∫₀^+∞x·2e^-2xdx [*] EZ=∫₀^+∞zf_Z(z)dz=∫₀^+∞z²e^-zdz=Γ(3)=2， E(X²)=∫₀^+∞x²·2e^-2xdx=1／2， E(XY)=∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞xyf(x，y)dxdy=∫₀^+∞dy∫₀^yxy·2e^-(x+y)dx =∫₀^+∞ye^-ydy∫₀^yx·2e^-xdx=1，故 [*]

解析

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考研数学一

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