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设A是n阶矩阵,下列命题错误的是( ).
设A是n阶矩阵,下列命题错误的是( ).
admin
2015-07-10
34
问题
设A是n阶矩阵,下列命题错误的是( ).
选项
A、若A
2
=E,则一1一定是矩阵A的特征值
B、若r(E+A)<n,则一1一定是矩阵A的特征值
C、若矩阵A的各行元素之和为一1,则一1一定是矩阵A的特征值
D、若A是正交矩阵,且A的特征值之积小于零,则一1一定是A的特征值
答案
A
解析
若r(E+A)<n,则|E+A|=0,于是一1为A的特征值;
若A的每行元素之和为一1,则
,根据特征值特征向量的定义,一1为A的特征值;若A是正交矩阵,则A
T
A=E,令AX=λE(其中X≠0),则X
T
A
T
=λX
T
,于是X
T
A
T
AX=λ
2
X
T
X,即(λ
2
一1)X
T
X=0,而X
T
X>0,故λ
2
=1,再由特征值之积为负得一1为A的特征值,选A.
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考研数学三
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