2. 自考
  3. 设λ1，λ2是方阵A的特征根，λ1≠λ2，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ε1，…，ε5是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ε1，…，εs线性无关．

设λ1，λ2是方阵A的特征根，λ1≠λ2，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ε1，…，ε5是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ε1，…，εs线性无关．

admin2016-07-11  51
问题 设λ1，λ2是方阵A的特征根，λ1≠λ2，η1，…，ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量，ε1，…，ε5是A的对应于λ2的线性无关的特征向量，证明η1，…，ηr，ε1，…，εs线性无关．
选项
答案证明：由题意 Aηi=λ1ηi(i=1，…，r)，Aεi=λ2εi(i=1，…，s)． 设k1η1+…+krηr+l1ε1+…+lsεs=0……(*) 左乘A得 λ1(k1η1+…+krηr)+λ2(l1ε1+…+lsεs)=0 ① (*)式再两边同乘以λ1，得 λ1(k1η1+…+krηr)+λ1(l1ε1+…+lsεs)=0 ② ①一②得(λ2一λ1)(l1ε1+…+lsεs)=0，由λ2≠λ1，可知，l1ε1+…+lsεs=0，又ε1，ε2，…，εs线性无关，所以l1=…=ls=0，代入(*)式可得k1=…=kr=0，与假设相反故η1，…，ηr，ε1，…，εs线性无关，得证．
解析
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线性代数（经管类）

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