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设λ1,λ2是方阵A的特征根,λ1≠λ2,η1,…,ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量,ε1,…,ε5是A的对应于λ2的线性无关的特征向量,证明η1,…,ηr,ε1,…,εs线性无关.
设λ1,λ2是方阵A的特征根,λ1≠λ2,η1,…,ηr是A的对应于λ1的线性无关的特征向量,ε1,…,ε5是A的对应于λ2的线性无关的特征向量,证明η1,…,ηr,ε1,…,εs线性无关.
admin
2016-07-11
50
问题
设λ
1
,λ
2
是方阵A的特征根,λ
1
≠λ
2
,η
1
,…,η
r
是A的对应于λ
1
的线性无关的特征向量,ε
1
,…,ε
5
是A的对应于λ
2
的线性无关的特征向量,证明η
1
,…,η
r
,ε
1
,…,ε
s
线性无关.
选项
答案
证明:由题意 Aη
i
=λ
1
η
i
(i=1,…,r),Aε
i
=λ
2
ε
i
(i=1,…,s). 设k
1
η
1
+…+k
r
η
r
+l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
=0……(*) 左乘A得 λ
1
(k
1
η
1
+…+k
r
η
r
)+λ
2
(l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
)=0 ① (*)式再两边同乘以λ
1
,得 λ
1
(k
1
η
1
+…+k
r
η
r
)+λ
1
(l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
)=0 ② ①一②得(λ
2
一λ
1
)(l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
)=0,由λ
2
≠λ
1
,可知,l
1
ε
1
+…+l
s
ε
s
=0,又ε
1
,ε
2
,…,ε
s
线性无关,所以l
1
=…=l
s
=0,代入(*)式可得k
1
=…=k
r
=0,与假设相反故η
1
,…,η
r
,ε
1
,…,ε
s
线性无关,得证.
解析
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本试题收录于:
线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
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