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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三个线性无关的向量组,已知Aα1=2α1+α2+α3 ,Aα2=3α1-α3,Aα3=-α3. (Ⅰ)求|A*+2E|; (Ⅱ)判断A是否可相似对角化,说明理由.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三个线性无关的向量组,已知Aα1=2α1+α2+α3 ,Aα2=3α1-α3,Aα3=-α3. (Ⅰ)求|A*+2E|; (Ⅱ)判断A是否可相似对角化,说明理由.
admin
2021-03-16
62
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
为三个线性无关的向量组,已知Aα
1
=2α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=3α
1
-α
3
,Aα
3
=-α
3
.
(Ⅰ)求|A
*
+2E|;
(Ⅱ)判断A是否可相似对角化,说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),且P可逆, 由Aα
1
=2α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=3α
1
-α
3
,Aα
3
=-α
3
得 AP=P[*],或P
-1
AP=[*]=B,即A~B, 由|λE-B|=[*]=(λ+1)
2
(λ-3)=0得 矩阵B的特征值为λ
1
=λ
2
=-1,λ
3
=3, 从而矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=-1,λ
3
=3, 由|A|=3得A
*
的特征值为-3,-3,1,则A
*
+2E的特征值为-1,-1,3, 故|A
*
+2E|=3. (Ⅱ)-E-B→E+B=[*] 由r(-E-B)=2得矩阵B不可相似对角化,故A不可相似对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Jsy4777K
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考研数学二
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